🌀

SHM04 — Phase Explorer

สำรวจการเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่าย: y, v, a และเฟสต่าง 90°

KP Science simulation
โหมดบันทึก: ดูแกน:

💡 หยุดการเคลื่อนที่ก่อน → ลากจุดสีฟ้าบนวงกลมเพื่อหมุนเองได้ (กราฟเลื่อนตาม)

📊 กราฟด้านล่าง: y-t (เขียว) เทียบ x-t (ชมพู) — สังเกตเฟสเหลื่อม 90°

ตัวแปร

A แอมพลิจูด m
T คาบ s
φ₀ เฟสต้น °
⏱ ความเร็ว ×
β แดมป์ 1/s

ค่าปัจจุบัน

t0.00 s
มุมเฟส (ωt+φ)0°
y(t)0
x(t)0
v(t)0
a(t)0
ω0
💡 สังเกต: ที่ y=0 (ผ่านสมดุล) ความเร็วสูงสุด · ที่ y=±A (ปลายสุด) ความเร็ว=0 ความเร่งสูงสุด · เฟส v นำหน้า y อยู่ 90°

📋 วิธีการทดลอง & การบันทึกผล

🎯

จุดประสงค์การเรียนรู้

  • เข้าใจ ความสัมพันธ์เฟส 90° ระหว่าง y, v, a ใน SHM
  • เชื่อม การหมุนเป็นวงกลม (phasor) เข้ากับ การฉายเงาเป็นกราฟไซน์
  • ฝึกวัด/คำนวณ A, T, ω, φ จากระบบสปริงและลูกตุ้ม
  • สำรวจ การลู่เข้าของแอมพลิจูด (damping) และผลต่อพลังงาน
A

การทดลอง A · Phasor & Projections

เห็น phasor หมุนแล้วเงาตกลงแกนกลายเป็น sin/cos

⚙️ ตัวแปร: A, T, φ₀, β 📊 Output: วงกลม + 2 กราฟ + 1 กราฟเทียบ 🎮 โหมด: 1 รอบ / ต่อเนื่อง
1

ตั้งค่าตัวแปร

เริ่มที่ A=0.5 m, T=3 s, φ₀=0°, β=0 — ปรับสไลเดอร์ดูการเปลี่ยน R, ตำแหน่งเริ่ม

2

เลือกแกน + โหมด

เลือก y = A sin(ωt+φ) หรือ x = A cos(ωt+φ) · เลือก "บันทึก 1 รอบ" สำหรับวัดละเอียด

3

กด ▶ เริ่ม

จุดฟ้าหมุน CCW จาก +x · projection สีเขียว/ชมพู ฉายลงแกน · กราฟ y-t (ขวา) + x-t (ล่าง) เลื่อนตาม

4

ลากจุดเอง (paused)

กด ⏸ หยุด แล้ว ลากจุดสีฟ้าบนวงกลม — สังเกต y กับ x สลับกันสูงสุด/0 ทุก 90°

5

บันทึก 4–8 จุด/รอบ

จดค่า (ωt+φ, y, x, v, a) จากกล่องค่าปัจจุบัน · เปรียบเทียบเฟส v และ a เลื่อน 90°/180° จาก y

6

เปิดแดมป์

ตั้ง β = 0.2–0.5 1/s → สังเกตวงกลมหดเข้าตามเวลา · กราฟไซน์ห่อหุ้มด้วย envelope e^(−βt)

B

การทดลอง B · Spring-Mass Sampler

วัด y, v, a ที่จุดใดก็ได้บนกราฟด้วยการคลิก

⚙️ ตัวแปร: m, k, A, f, β 📊 Output: สปริง + กราฟ y-t (+v-t/a-t overlay) 🖱️ Click-to-snap
1

ตั้ง m, k, A

ω = √(k/m) คำนวณอัตโนมัติ · หรือใส่ f > 0 เพื่อ override · เริ่มต้นลอง m=1, k=20, A=0.2

2

กด ▶ เริ่ม → ดูสปริง

มวลสั่นสมจริง — ช้าที่ปลายสุด เร็วที่สมดุล (เห็นจากลูกศร v ข้างมวล)

3

กด ⏸ หยุด

กราฟ y-t ค้างอยู่ พร้อมให้คลิกเลือกจุด

4

คลิกบนกราฟ

โปรแกรม สแนปไปบนเส้นไซน์ ในแนวดิ่ง · แสดง y (เวกเตอร์เหลือง) + v (ฟ้า) + a (ชมพู) ทันที

5

เลื่อนจุดวัด

คลิกหลายๆ ตำแหน่ง → ค่า y, v, a เปลี่ยนตาม · จด 5 จุดเป็นตาราง

6

เปิด v-t / a-t / β

ติ๊ก ☑ v-t, ☑ a-t → กราฟซ้อนทับ เห็นเฟสต่าง 90° ชัด · ตั้ง β > 0 ดูแอมพลิจูดยุบ

C

การทดลอง C · Period Challenge

คาบถูกซ่อน! ใช้คาลิปเปอร์วัด แล้วตรวจค่า y,v,a + พลังงาน

⚙️ ตัวแปร: A, φ₀, β (T สุ่ม) 🧰 เครื่องมือ: ไม้บรรทัด · คาลิปเปอร์ · สเกลเฟส ⚡ พลังงาน 4 ชนิด
1

เลือกวัตถุ

ลูกตุ้ม / สปริงแนวตั้ง / สปริงแนวนอน — แต่ละแบบเปลี่ยนการแสดงผลและพลังงาน

2

ตั้ง A, φ₀

กด "↺ สุ่มใหม่" เพื่อสุ่มคาบใหม่ทุกครั้ง

3

กด ▶ → ⏸ หลัง 1–2 รอบ

ปล่อยให้กราฟวาดอย่างน้อย 2 ยอดติดกัน

4

วัดคาบด้วยคาลิปเปอร์

ลากปาก A ไปยอดที่ 1, ปาก B ไปยอดที่ 2 → อ่าน ΔT ใต้ bracket

5

กรอก T → ตรวจคาบ

โปรแกรมแสดง %error · ถ้า ≤10% ระบบจะเปิดสเกลเฟสให้ใช้ต่อ

6

คลิกจุด + วัด y

ใช้ไม้บรรทัดวัดระยะจากแนวสมดุล (อย่าลืม ± !) → กรอกในช่อง y

7

กดตรวจค่า y,v,a

โปรแกรมเทียบ y, |v|=ω√(A²−y²), a=−ω²y กับค่าจริง · เตือนถ้าเครื่องหมายผิด

8

📊 กราฟพลังงาน

เปิดดู KE, PE_g, PE_s, E_total · สังเกตอนุรักษ์พลังงาน (แดมป์ปิด) หรือ E ลดเรื่อยๆ (แดมป์เปิด)

📝 ตารางบันทึกผลแนะนำ

การทดลองตัวแปรตั้งสิ่งที่วัด/บันทึกคำถามท้ายการทดลอง
AA, T, φ₀(ωt+φ), y, x, v, a ที่ 4–8 จุดต่อรอบเฟสของ v นำหรือตาม y? นำตาม a กี่องศา?
Bm, k, Ay, v, a ที่ 5 จุดเลือกเอง · ω จากสูตร √(k/m)ถ้า k เพิ่ม 4 เท่า → ω, T, v_max เปลี่ยนกี่เท่า?
CA, φ₀ (T สุ่ม)T วัดได้ + %error · y,v,a เทียบจริง · KE+PEวัตถุใดอนุรักษ์ E ดีที่สุด? β ส่งผลต่อ T หรือไม่?
⚠️

ข้อควรระวัง

  • หน่วยมุม: สไลเดอร์ φ₀ เป็น องศา แต่คำนวณภายในเป็นเรเดียน (×π/180)
  • ลูกตุ้มมุมเล็ก: สมการ SHM ใช้ได้เฉพาะ θ < 15° · เกินกว่านี้ T จะคลาดเคลื่อนเล็กน้อย (Halliday Ch.15)
  • แดมป์ใต้วิกฤต: ωd = √(ω₀² − β²) — ถ้า β ≥ ω₀ ระบบจะ over-damped (ไม่สั่น) โปรแกรมจะ fallback เป็น ω₀
  • ความคลาดเคลื่อนการวัดด้วยตา: ±5–10% ถือว่าปกติ — ใช้ค่าเฉลี่ยจากหลายจุดให้แม่นยำขึ้น
🧪

คำถามชวนคิด (POE)

  1. ที่ y = A/2 ความเร็วเป็นกี่เปอร์เซ็นต์ของ v_max? (Hint: v = ω√(A²−y²))
  2. ถ้าเพิ่มมวลจาก 1 → 4 kg (k คงเดิม) คาบเปลี่ยนกี่เท่า? f เปลี่ยนกี่เท่า?
  3. เปิดแดมป์ β = 0.5 — หลัง 1 คาบ แอมพลิจูดเหลือกี่ % ของเดิม? (Hint: e^(−βT))
  4. สปริงแนวนอน ทำไมไม่มี PE_g? ลูกตุ้มทำไมไม่มี PE_s?
  5. เมื่อ damped — พลังงานหายไปไหน? (Hint: คิดเชิงความร้อนเสียดทาน)

📐 ทฤษฎี SHM — ครบทุกประเด็น

การเคลื่อนที่ฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic Motion, SHM) คือการเคลื่อนที่กลับไปกลับมาผ่านแนวสมดุล โดย แรงดึงกลับ ∝ การกระจัด และมีทิศตรงข้าม:

F = −ky  ⟹  a = F/m = −(k/m)y = −ω²y

1️⃣ สมการการเคลื่อนที่

การกระจัด
y = A sin(ωt + φ)
A = แอมพลิจูด · φ = เฟสเริ่มต้น
ความเร็ว
v = Aω cos(ωt + φ)
นำหน้า y อยู่ 90°
ความเร่ง
a = −Aω² sin(ωt+φ) = −ω²y
สวนทาง y เสมอ (เฟสต่าง 180°)
y (เขียว) · v (ฟ้า) · a (ชมพู) เฟสต่าง 90°
Phasor หมุน — projection ลงแกน = sin/cos

2️⃣ ตำแหน่งสำคัญในรอบการสั่น

ตำแหน่งy|v||a|คำอธิบายเชิงฟิสิกส์
สมดุล0Aω (สูงสุด)0แรงสุทธิ = 0 ⟹ a = 0 · KE สูงสุด · PE = 0
ปลายสุด +A+A0Aω²หยุดชั่วขณะ · a ทิศ −y · KE = 0 · PE สูงสุด
ปลายสุด −A−A0Aω²เหมือนกัน แต่ a ทิศ +y
y = ±A/2±A/2(√3/2)Aω ≈ 0.866 v_max(½)Aω²KE = ¾ E_total · PE = ¼ E_total
y = ±A/√2±0.707A(1/√2)Aω ≈ 0.707 v_max(1/√2)Aω²KE = PE = ½ E_total (จุดที่พลังงานเท่ากัน)
⚡

สูตรลัดที่ใช้บ่อย — ไม่ต้องรู้ t

v = ω √(A² − y²)  ·  a = −ω²y

พิสูจน์: จาก sin² + cos² = 1 → (y/A)² + (v/Aω)² = 1 → v² = ω²(A²−y²)

3️⃣ คาบและความถี่ของระบบมาตรฐาน

ทั่วไป
ω = 2π/T = 2πf
f = ความถี่ (Hz) · T = คาบ (s)
สปริง-มวล
ω = √(k/m)
T = 2π√(m/k)
ใช้กับสปริงทั้งแนวตั้งและแนวนอน · ไม่ขึ้นกับ A
ลูกตุ้ม (มุมเล็ก)
ω = √(g/L)
T = 2π√(L/g)
ใช้ได้ θ < 15° · ไม่ขึ้นกับ m และ A
ลูกตุ้มมุมเล็ก → SHM (sin θ ≈ θ)
สปริง F = −kx → SHM

4️⃣ ทำไมเฟสต่างกัน 90°?

ถ้า y(t) = A sin θ โดย θ = ωt+φ หมุนสม่ำเสมอ ลองหาอนุพันธ์:

d(sin θ)/dt = ω cos θ  ⟹  v = Aω cos(ωt+φ)
d(cos θ)/dt = −ω sin θ  ⟹  a = −Aω² sin(ωt+φ)

การ diff หนึ่งครั้ง เท่ากับการ เลื่อนเฟส +90° (sin → cos)

5️⃣ พลังงานใน SHM

พลังงานจลน์
KE = ½mv² = ½k(A²−y²)
สูงสุดที่สมดุล · = 0 ที่ปลายสุด
พลังงานศักย์
PE = ½ky²
= 0 ที่สมดุล · สูงสุดที่ปลายสุด
รวม (อนุรักษ์)
E = KE + PE = ½kA²
คงที่เมื่อไม่มีแดมป์
⚖️

การแยกพลังงานศักย์ตามวัตถุ (Tab C)

  • ลูกตุ้ม: มีเฉพาะ PE_g (โน้มถ่วง) = mgh ≈ ½mω²y² · ไม่มี PE_s
  • สปริงแนวตั้ง: รวม PE_g (mgy, ±) + PE_s (½ky² − mgy) = ½ky² · พลังงานสะสมใน 2 ที่
  • สปริงแนวนอน: มีเฉพาะ PE_s = ½ky² · แรงโน้มถ่วงตั้งฉาก ⟹ ไม่ทำงาน

6️⃣ การสั่นแบบมีแรงต้าน (Damped SHM)

ถ้ามีแรงต้าน F_drag = −γv (เช่น อากาศ, น้ำ) สมการการเคลื่อนที่กลายเป็น:

m·a + γ·v + k·y = 0  ⟹  ÿ + 2β·ẏ + ω₀²·y = 0  (β = γ/2m)

กรณี under-damped (β < ω₀): สั่นแต่แอมพลิจูดลดลงตาม envelope เลขชี้กำลัง:

y(t) = A·e^(−βt) · sin(ω_d·t + φ)
ω_d = √(ω₀² − β²)  (ความถี่ลู่ลดเล็กน้อย)
Under-damped — แอมพลิจูดลู่เข้าตาม e^(−βt)
พลังงานรวมลด: E(t) = E₀·e^(−2βt)
กรณีเงื่อนไขพฤติกรรม
Under-dampedβ < ω₀สั่นแล้วลู่เข้า (oscillating decay)
Critically dampedβ = ω₀กลับสู่สมดุลเร็วสุดโดยไม่สั่น
Over-dampedβ > ω₀กลับสู่สมดุลช้า ไม่สั่น
⚠️

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย (M4 series)

  • M4.1: "ที่ปลายสุด ความเร่ง = 0" ❌ → จริงคือ สูงสุด (Aω²) เพราะแรงดึงกลับมากสุด
  • M4.2: "ที่สมดุล ความเร่ง = สูงสุด" ❌ → จริงคือ = 0 เพราะแรงสุทธิ = 0
  • M4.3: "v กับ a ทิศเดียวกันเสมอ" ❌ → เฟสต่าง 90° → ทิศเดียวกันเฉพาะบางช่วงของรอบ
  • M4.4: "เคลื่อนไป +y แสดงว่า a ก็ +y" ❌ → a ขึ้นกับ ตำแหน่ง ไม่ใช่ทิศการเคลื่อนที่ (a = −ω²y)
  • M4.5: "คาบของลูกตุ้มขึ้นกับมวล" ❌ → T = 2π√(L/g) ไม่มี m (เพราะ m หักลบกันใน F = ma)
  • M4.6: "แอมพลิจูดมาก คาบนาน" ❌ → คาบ ไม่ขึ้นกับ A ใน SHM (isochronism)

7️⃣ Phase Space (x–v Diagram)

ถ้า plot v บนแกนตั้ง vs y บนแกนนอน → ได้รูปวงรี (สมการ ½ky² + ½mv² = E):

(y/A)² + (v/Aω)² = 1
📚

อ้างอิง

  • Halliday, Resnick & Krane. Physics Volume 1, Ch.15 (Oscillations)
  • Young & Freedman. University Physics, Ch.14
  • หลักสูตรแกนกลาง 2551 (ปรับปรุง 2560) ม.5 ฟิสิกส์ — บทการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก
  • NSTA Misconception Cards — M4 series (Forces & Motion)